**BİR MATEMATİK PROBLEMİNİN UYGULANABİLİRLİĞİ**
Prof. Dr. Hüseyin HÜSEYİNOV

Bu bildiride, matematik problemlerinin uygulanabilir olması koşulu üzerine, bazı bilim adamlarının da bu konuda düşünceleri dikkate alınarak, bir değerlendirme yapılıyor. Matematik problemlerinin önüne sert uygulanabilirlik koşulunun konulmasının matematiğin gelişmesini engelleyici bir unsur olabileceği vurgulanıyor.

Seminerlerde ve sempozyumlarda bir matematik problemi üzerine bildiri sunan konuşmacıya sorulan en yaygın sorulardan biri şu sorudur: İncelediğiniz problemin bir uygulaması varmıdır?
Bu soruyu cevaplandırmak, özellikle de genç araştırmacı konuşmacılar için, her zaman kolay olmuyor. Ele alınmış problemin matematiğin diğer problemleri arasındakı yerini ve bu problemlerle ilişkisini iyi bilmek gerekiyor. Sorunun zorluğunun bir kaynağı da her matematik probleminin kolay-kolay uygulamasının bulunmamasıdır.
Yukarıdakı soru cevaplandırılmaya çalışılırken şu husus dikkate alınabilir ki, bir matematik probleminin uygulaması derken, uygulama kavramına daha geniş anlam vererek, bu problemin çözümlenmesinden elde edilen sonuçların bu problemin dışındakı herhangi bir yerde kullanılması düşünülebilir. Kullanıldığı yere bağlı olarak değişik uygulamalar söz konusu olabilir.
1. Bir matematik probleminin en iyi uygulaması bu problemin çözümlenmesinden elde edilen sonuçların pratikde (günlük yaşamda) ve teknikde (üretimde) kullanılmasıdır. Eğer bir matematik problemi pratikdeki bir olayın matematiksel modeli olarak ortaya çıkmış ise, bu problemin uygulaması varmı sorusuna bu problem şu olayın matematiksel modelidir deyerek kolayca cevap verebiliriz.
2. Eğer bir matematik probleminin pratik uygulaması yok ise (veya bilinmiyorsa), bu problemin matematiğin dışındakı bir bilim dalında, örneğin, fizikde, astronomide, biyolojide vb. kullanılması aranabilir.
3. Eğer problemin matematiğin dışındakı hiçbir bilim dalında uygulaması yok ise (veya bilinmiyorsa), bu problemin ait olduğu matematik alanının dışındakı başka matematik alanlarında kullanılması, örneğin, problem sayılar teorisinin problemi ise onun fonksiyonlar teorisinde veya diferensiyel denklemler teorisinde kullanılması aranabilir.
4. Son olarak, bir matematik probleminin çözümlenmesinden elde edilen sonuçların bu problemin ait olduğu matematik alanının kendi içinde uygulaması aranabilir. Örneğin, problem sayılar teorisinin problemi ise onun çözümlenmesinden elde edilen sonuçların sayılar teorisinin başka bir problemi için kullanılması aranabilir.
Rus matematikçi A. N. Kolmogorov (1903-1987) kendisinin [2, s.15] kitabında yazıyor: "Kuşkusuz, matematikçilerin görevi pratiğin ısrarla ortaya koyduğu tüm problemlerle uğraşmaktır. Eğer hemen uygulaması olmasa bile herhangi problem güzel ve doğal ise, tabii, onunla da uğraşmak lazım".
Çağdaş matematiğin türeyip yarandığı matematik dalları Öklid geometrisi ve sayılar teorisi olmuştur. Geometrinin ve sayılar teorisinin bazı problemleri ilk başta pratik ihtiyaçlardan ortaya çıksada bu problemlerin incelenmesi ve çözülmesi matematiğin mantıksal muhakeme kurallarına dayanarak gelişmiştir. Böylece, matematiğin pratikden ve herhangi dış etkenlerden bağımsız olarak gelişme ve genişleme özelliği vardır.
Sayılar teorisinin bir çok ünlü problemleri pratikde ve teknikde uygulamaya sahip değildir. Fakat matematikçilerin bu problemelri çözme çalışmaları sonucunda matematiğin bir çok büyük teorileri ve güçlü yöntemleri ortaya çıkmıştır. Bu zaman ortaya çıkmış teorilerin ve yöntemlerin bir kısmı sonradan pratikde ve bilimin (matematik de dahil) diğer alanlarında önemli uygulamalar bulmuştur.
Alman matematikçi K. F. Gauss (1777-1855) demiştir: "Bütün ilimlerin anahtarı matematikdir, matematiğin anahtarı ise sayılar teorisidir".
Örnek olarak, sayılar teorisinin iki ünlü problemine değinelim.
Pozitif tam sayılar içinde asal sayıların dağılımını ifade eden asal sayma fonksiyonunun asimptotunu incelerken Alman matematikçi B. Riemann (1826-1866) tarafından tanımlanmış ve sonraları Riemann zeta-fonksiyonu adını almış

fonksiyonu kullanılır. fonksiyonunun tüm kompleks düzleme analitik devamı yapılabilir. Bu fonksiyonunun sıfırları noktalarında (bunlara trivial sıfırlar denir) ve bandı içinde sonsuz tane noktalarda (bunlara trivial olmayan sıfırlar denir) bulunur. Riemann'ın ünlü tahminine göre (Riemann conjecture) fonksiyonunun tüm trivial olmayan sıfırları doğrusu içinde bulunur. Riemann tahmini doğru olduğu takdirde asal sayma fonksiyonunun asimptotu için en iyi sonuç ispatlanabilir. [3] de Riemann tahmininin doğru olması koşulu altında bir takım teoremler verilmiştir. Dolayısıyla da Riemann probleminin, en az sayılar teorisi içinde, önemli uygulamaları vardır.
Öte yandan sayılar teorisinde Fransız matematikçi P. Fermat (1601-1665) tarafından ortaya konulmuş şu problem de biliniyor: iken denklemini sağlayan ve her üçü sıfırdan farklı tam sayıları yok. Çok sayıda matematikçilerin ısrarlı çabalarına rağmen bu hüküm uzun yıllar ispatlanamamıştı. Yalnızca son zamanlarda bu hükmün doğruluğu ispatlanmış sayılmaktadır. Fermat probleminin, bırakın matematiğin dışındakı alanları, sayılar teorisinin içinde bile bir uygulaması bilinmemektedir. Buna rağmen Fermat problemini çözme çabaları sonucunda matematiğin yeni teorileri ve çok güçlü yöntemleri ortaya çıkmıştır.
İngiliz matematikçi G. H. Hardy (1877-1947) kendisinin [1, s.67] kitabında yazıyor: "En iyi matematiğin büyük bölümü yararsızdır. Matematiğin çok küçük bölümü pratik yarar sağlar; o küçük bölüm de oldukça sıkıcıdır".
Matematiğin tarihinden biliniyorki ilk başta kendisinin pratik uygulaması bilinmeyen problem sonradan beklenmedik bir şekilde pratik uygulaması olan başka problemlerin çözümlenmesinde kullanılmışdır. Örneğin, kompleks katsayılı veya katsayıları spektral parametreyi polinom ve kesirli fonksiyon olarak içeren adi diferensiyel denklemler için saçılma teorisinin ters problemleri (inverse scattering problems) ilk başta sadece matematiksel genelleştirmeler olarak ele alınıp incelenmişti. Sonraları bu problemler çok önemli uygulamalara sahip Korteweg-de Vries tipi lineer olmayan evolüsyon denklemlerin çözümlenmesinde bir araç olarak kullanıldı.
Genelde, matematiksel açıdan doğru ve tutarlı olan herbir problem tez veya geç uygulamalar buluyor. Bunun nedeni bizi kapsayan varlığın, içinde her problemin bir uygulaması bulunacak kadar zenginliği ve sonsuzluğu olasa gerek.
Üniversite matematik bölümlerinden mezunların iş bulabilmeleri ve çalışırken yararlanabilmeleri için matematik lisans ve yüksek lisans derslerinin pratikde uygulanan kısımlarına ağırlık verilmesi her ne kadar gerekli olsa da, doktora programında verilen derslerde ve doktora tez konularının seçiminde uygulanabilirlik özelliğinin şart olarak aranması iyi matematikçilerin ve iyi matematiğin ortaya çıkmasına çok ciddi engel oluşturabilir.
Sibernetik biliminin yaratıcısı ve matematikte bir takım keşifleri ile ünlü Amerikan matematikçi Norbert Wiener (1895 - 1964) kendisinin [4, s.5 ve s.343] kitabında yazıyor: "Bana, beni ilgilendiren her şeyi çalışma ve hakkında serbestçe düşünme olanağı veren Massachusetts Teknoloji Enstitüsüne çok borçluyum. Ben çok mesudum, özellikle de ona göre ki, benim çalışdiğim idarede yönetimin yukarıdan emir verdiği ve istediği problemler üzerinde çalışmak zorunda kalmadım".
Böylece, başlıkta sorulan "Bir matematik probleminin uygulanabilirliği şart mı?" sorusuna "Hayır, şart değildir" cevabının doğru olduğu anlaşılmaktadır.

Prof. Dr. Hüseyin HÜSEYİNOV

Atılım Üniversitesi, Matematik Bölümü
06836 İncek, Ankara
E-mail: guseinov@atilim.edu.tr

Kaynaklar

G. H. Hardy, Bir Matematikçinin Savunması (A Mathematician's Apology), TÜBİTAK, 1994. (Türkçe çevirisi).

A. N. Kolmogorov, Matematika - Nauka i Professiya (Matematik İlimdir ve Meslektir), Nauka, Moskva, 1998. (Rusça).

E. C Titchmash, The Zeta Function of Riemann, Cambridge Univ. Press, 1930.

N. Wiener, Ya-Matematik (I Am a Matehematician), Nauka, Moskva, 1997. (Rusça